Introducing a course on mathematical methodology. EWD962.
По разным причинам, которые станут ясны в ходе этого введения, я не могу сразу перейти к предмету курса. Необходимо сначала дать некоторые объяснения и предостережения, потому что без них, вероятно, вы не поймёте, как надо меня слушать.
Предостережения в основном касаются меня. Со дня прибытия в Остин я узнал, что, по-видимому, на лекции ходят два типа студентов (to types of students, похоже, ошибка в оригинале — примечание переводчика): с одной стороны, есть студенты, которым очень нравятся мои лекции, они считают их полезными, потому что они полностью отличаются от других, которые им приходилось слушать; с другой стороны, есть студенты, которые обвиняют меня в том, что я отклоняюсь от того, что они привыкли слышать раньше.
И всё-таки я не собираюсь подгонять мой стиль изложения к ожиданиям последней категории. Во-первых, я знаю, что, поскольку я совершенно не знаком с американской системой образования, я не могу имитировать моего среднего американского коллегу. Во-вторых, если бы я попытался, то отрёкся бы от своего преподавательского долга: меня пригласили приехать в UT (University of Texas, Техасский университет в Остине — примечание переводчика) не для того, чтобы я давал то, что может дать, причём лучше, любой знающий и опытный американский коллега, меня пригласили дополнить эту систему и представлять то, чем она пренебрегает.
Если сказать напрямик, главная часть моего преподавательского долга заключается в том, чтобы неамериканская деятельность стала плотью и кровью. Конкретнее, каждый раз, когда конфликт культур проявится в этом курсе, мы должны помнить, что столкновение с другой научной и образовательной культурой было запланированным с самого начала как важный ингредиент курса.
Это наша совместная обязанность, хотя в основном моя, предотвратить деструктивные последствия конфликта культур. Ваш вклад в это дело на данный момент состоит в том, чтобы слушать настолько непредвзято и настолько внимательно, насколько возможно; мой вклад будет состоять в том, чтобы подготовить вас настолько тщательно, насколько я могу, к различиям, с которыми вы столкнётесь.
Я вырос в обществе, где переход из школы в университет был очень резким, подчёркнутым всеми сопутствующими лингвистическими симптомами. В университете были профессора, студенты и аудитории, в школе были учителя, ученики и классы. В школе к нам обращались по имени, фамильярно, в университете по фамилии, вежливо. Короче говоря, внезапно с нами начинали обращаться как со взрослыми. Нас называли «дамы и господа» и ожидали, что мы будем вести себя соответствующим образом.
Недавно наблюдав из окон неуютно близких квартир то, что едва не стало коллапсом западной цивилизации (Вторая мировая война? — примечание переводчика), мы рассматривали культурную и научную деятельность, как её осуществляли университеты, очень серьёзно, хотя осознавали, что научное сообщество не полностью соответствовало тем высоким стандартам, что иллюстрируется определением университетского профессора: человек, который мечет фальшивый бисер перед настоящими свиньями. Но стандарты в большой степени живы и сейчас. Развиться в культурных, компетентных учёных было нашей личной задачей, и никто не ждал, что мы будем готовиться к профессии: так делали в профессионально-технических училищах, а университет не был профессионально-техническим училищем. (Нам никогда бы не пришло в голову описать профессора как «человека, который не смог сделать карьеру в промышленности»; кажется, отношение было противоположным в том смысле, что промышленность вынуждена была работать с кадрами, которые научный мир не взял.) В целом, мы очень уважали наших профессоров и они, взамен, очень уважали многих из нас. Говорить со своими студентами свысока определённо считалось «не принятым», а когда, довольно редко, какой-то профессор и делал так по ошибке, его презирали за это.
Я уверен, что в первые годы идея давать лекционные материалы (hand-outs) казалась абсурдной: мы сами могли писать конспекты! Когда, в конце учёбы, профессор теоретической физики — он прибыл из Утрехтского университета — выдал нам конспект лекций (syllabus), мы чувствовали себя глубоко оскорблёнными. Мы считали эти отрывки отвратительным барьером между нами и оригинальными работами, из которых они были извлечены. Мы обвинили его в неуважении к слушателям и он в конечном счёте уехал в Амстердамский университет.
Вот так выглядели годы, сформировавшие распространённые в академии предрассудки, которые сейчас стали моими хорошо обдуманными убеждениями. Они существенно определяют характер того, как я буду преподавать этот курс. Позвольте дать вам несколько предупреждений.
Иногда я буду давать лекционные материалы: в конце концов, с тех пор прошло более трети столетия. Но, в принципе, вы должны писать конспект самостоятельно и проходить его между лекциями. Для вас это единственный способ начать приобретать необходимый литературный стиль и обнаруживать вовремя, что вы не поняли чего-то, что казалось очень ясным и простым, когда я объяснял. Это не пустое предупреждение: в течение нескольких десятилетий меня обвиняют в том, что я рассказываю настолько гладко, что половина слушателей не улавливает большинство потенциальных трудностей.
Запомните: вы взрослые люди. Это означает, что я не отвечаю за то, чтобы учить вас чему-то, я отвечаю только за то, чтобы дать вам возможность учиться, желательно интенсивно, желательно тому материалу, который вы не можете выучить под началом другого человека. Возможно, я дам вам упражнения, которые вы можете попробовать решить, я не должен давать домашнюю работу, которую нужно сделать, чтобы получить оценку. Я не принуждаю вас слушать меня, вы отвечаете за то, чтобы пытаться выучить как можно больше. Запомните: вы взрослые люди.
Взаимное уважение существенно необходимо, чтобы закончить курс с успехом, и это взаимное уважение надо заслужить. Я, со своей стороны, собираюсь достичь этого, не применяя образовательную отраву под названием «графопроектор», стараясь улучшить своё владение мелом, произнося тщательно обдуманные и грамматически полные предложения и обращая ваше внимание на множество существенных деталей, которые иначе бы ускользнули от вас. Вы, со своей стороны, тоже должны заслужить моё уважение. Для этого нужно нечто большее, чем смеяться над моими шутками — чтобы показать, что вы их заметили — и поправлять меня, когда я забуду закрыть скобки. Ваша обязанность — настолько активное и критическое участие, чтобы то, что неизбежно начинается как монолог, развилось в осмысленный диалог. Вы должны играть роль не мокрой губки, а точильного камня; только тогда сможет перескочить искра интеллектуального интереса.
Последнее предупреждение, касающееся моего стиля. Я привык выражаться кратко, и моё положение, а именно, что я вынужден рассказывать вам на языке, который для меня иностранный, только укрепляет эту склонность. Я не из так называемых лекторов от бога, которым достаточно спустить язык с привязи, я из тех невезучих людей, которым надо думать о том, что они говорят. В результате, я говорю медленно, настолько медленно, что могу остановиться в середине предложения. Но, ради бога, не обманывайте себя: скорее всего, вам придётся слушать в два раза быстрее, чем вы привыкли. Я вырос в обществе, где достаточно сказать что-то один раз: ведь вы записывали, не правда ли? Позвольте мне, в качестве исключения, проиллюстрировать эту мысль. Я сказал: «Я привык выражаться кратко», — и оставил фразу в таком виде, потому что прилагательное «кратко» (автор ошибся, это наречие — примечание переводчика) точно выражает смысл; я воздержался от того, чтобы дать определение этому термину, чтобы подчеркнуть его, то есть не добавил: «То есть, я склонен использовать как можно меньше слов и не склонен повторяться». [До сегодняшнего дня слабоумные менеджеры программистов измеряют «производительность программиста» в «произведённых строках кода», тогда как более уместно употреблять термин «потраченные строки кода». Со словами точно так же.] Короче говоря, к концу лекции вы устанете не меньше меня.
Достаточно говорить о стиле изложения этого курса. Разрешите мне теперь перейти к природе материала, который я буду излагать.
Мысль прочитать этот курс лекций родилась из-за недовольства тем, как преподают математику с тех пор, как я был студентом. Курсы, которые я проходил, состояли из фактов, фактов и ещё большего количества фактов: кортеж (определение, теорема, доказательство) повторялся до бесконечности. Очень полезно, если вы хотите применять или расширять изложенную теорию, и полностью бесполезно в остальных случаях. Позже я видел, как рождается другой тип лекций по математике: трюки, трюки и ещё больше трюков, рецепты решения очень специальных типов задач и бесконечные упражнения, чтобы довести их решение до автоматизма. Полезно, наверное, когда автоматическое решение задач — ваша цель, но, опять же, бесполезно в остальных случаях. Более того, особенно в странах, где риторику смешивают с эффективным использованием языка, мы видели лекции, представляющие собой культ чистой формы: студента учат пышному языку, и математика сводится к маннеризмам.
Студент, который, как дикое животное, которое готовят к трюкам в цирке под названием «жизнь», ждёт только дрессировки, которая описана выше, будет жестоко разочарован: по его стандартам, он ничему не научится.
Позвольте мне процитировать для контраста и для вдохновения, что Дж. Р. Элтон написал про обучение истории:
Три или четыре года, проведённые в университете, не могут научить человека знанию истории, они не могут сделать из него политика, публициста или издателя, они могут, в лучшем случае, заложить фундамент для взгляда на мир и (учитывая реальные университеты) заложат такой фундамент, который, как показывает опыт, придётся сломать. Это не повод обвинять их: не надо пытаться сделать невозможное. Но если эти годы не выработают рассуждающий ум, если они не научат человека думать лучше, чем он думал бы сам по себе, их можно справедливо осудить как пустую трату времени.
Так вот, мне было бы печально услышать, что ваши годы в UT придётся, говоря словами Элтона, «справедливо осудить как пустую трату времени». Во имя эффективного обуславливания рассуждающего ума и чтобы научить вас думать лучше, чем вы бы думали без обучения, эти лекции будут рассказывать о том, как делать математику. Сделать общественным достоянием то, что в традиционном курсе математики остаётся неявным — вот моя цель.
Я не ставлю целью превратить за курс длительностью в один семестр всех вас поголовно в превосходных математиков. Запомните: не пытайтесь сделать невозможное. Но я могу и должен пытаться дать вам возможность стать более хорошими математиками, чем вы бы стали без обучения, и я предлагаю добиться этого, продемонстрировав вам хотя бы главные компоненты математического искусства и предупредив вас явно о некоторых распространённых ошибках, которых опытный компетентный математик избегает по привычке.
Как поднять эти лекции выше уровня благих пожеланий — уровня, характерного для лекций по менеджменту, которые продаются тренинговыми компаниями, — нам сказал Уильям Блейк (1757—1827):
Он, кто сделал бы добро другому, должен делать его мелкими частностями.О Всеобщем Благе заявляют подлецы, лицемеры и льстецы,Потому что Искусство и Наука могут существовать только в виде детально организованных частностей.
(Из «Jerusalem. The Emanation of the Giant Albion», ch. 3, plate 55, line 60. Оригинал. — Примечание переводчика.)
Мораль сей цитаты в том, что, в принципе, никакая деталь не будет слишком мелкой для нашего внимания. Также я люблю эту цитату за то, как она упоминает искусство и науку на одном дыхании, так как, в самом деле, аналогия между выступающим артистом и плодотворным учёным вовсе не натянутая. Среди самых базовых вещей, которым должен научиться молодой пианист, есть умение ухаживать за своими ногтями; мы познакомимся с аналогичным умением ухаживать за нашими математическими ногтями, так сказать. Также выступающий артист должен хорошо усвоить потенциал и ограничения своих инструментов; то же должны сделать мы по отношению к нашим инструментам, а именно, ручке, бумаге и печатному тексту.
Аналогия продолжается. Так же, как профессор консерватории представляет музыкальный стиль (до такой степени, что часто можно определить имя мастера, слушая его учеников), я представляю математический стиль. Вам решать, до какой степени перенять и усовершенствовать его. Однако, одну вещь вам запрещено делать, а именно, отвергнуть его не глядя только потому, что он не отражает способ делать математику, к которому вы привыкли. Конечно, не отражает! Именно поэтому вы здесь. Весь этот курс лекций — не больше и не меньше, чем приглашение провести эксперимент, в котором вы попробуете изменить некоторые из ваших привычек рассуждения и приобрести некоторые новые способы выражения. Когда вы начнёте эксперимент, то заметите, что наибольшее препятствие состоит не в приобретении новых привычек, так как оно состоит в избавлении от старых. Достижение совершенства состоит в отучении в той же степени, что и в научении.
Это очевидно. Всё же, надо подчеркнуть это, так как тупые методисты изобрели для процесса обучения глубоко неадекватный термин «передача знаний» (knowledge transfer), подразумевая однонаправленный поток знаний к аккумулирующему получателю, который монотонно становится более знающим. Я считаю это в лучшем случае карикатурой. Загвоздка может быть в том, что у некоторых из вас он засел в голове, таким образом создавая дополнительный барьер для процесса отучения. Из-за него некоторые люди совершенно не готовы осознать, что среди вещей, которым они научились до сих пор, возможно, полно мусора, который является больше бременем, чем активом, и что они были бы счастливее без него. Невозможно быть слишком осторожным в выборе своего прошлого.
Остин, июнь 1986 года