Как выполняется исследование.

Michael Francis Atiyah. How research is carried out. Collected Works; 6-Volume Set.

Майкл Фрэнсис Атия, FRS, FIMA. Математический институт, Оксфорд.

Вначале я хотел бы ясно сказать, что не я отвечаю за внушительное название данной лекции. Не совсем понятно, что бы это название могло означать, и я могу придумать как минимум два толкования. Слово «как» может означать метод, с помощью которого выполняется исследование — то есть, умственные процессы, которые сопровождают математическое исследование. Это вопрос человеческой психологии, и это очень интересный вопрос, о котором писали многие знаменитые математики, включая Адамара (Hadamard) и Пуанкаре. Кажется, Адамар рекомендовал принять горячую ванну два раза подряд, чтобы подстегнуть исследование, а Пуанкаре открыл свои лучшие идеи, пересаживаясь с одного омнибуса на другой.

Вторая возможная интерпретация — это манера, в которой выполняется исследование. Я имею в виду разнообразные стили математики — как люди с разными взглядами представляют себе математическое исследование. Я считаю себя обязанным рассказать о второй интерпретации, частично потому, что я полагаю, что мой коллега Джон Хаммерсли (John Hammersley) выберет первую, а мы должны немного распределить наши усилия, частично потому, что это первая лекция на данной конференции, и, я считаю, было бы хорошим началом разобраться, что есть математика, прежде чем исследовать другие её аспекты.

Я построю лекцию следующим образом. Я перечислю контрастирующие аспекты математического исследования. Я приведу их не для того, чтобы принять ту или иную сторону, а чтобы обсудить. Я постараюсь соблюдать баланс и не позволю своему мнению слишком уж сильно влиять на обсуждение.

Прежде всего я должен сказать об одном важном делении математики на чистую и прикладную. Я не думаю, что между ними можно провести чёткую границу, но следует знать о важных различиях между тем, что делает чистый математик, и тем, что делает прикладной математик, даже если их деятельности значительно перекрываются. Я надеюсь, что Джон Хаммерсли возьмёт на себя деятельность прикладного математика, поэтому моя лекция будет содержать рассуждения чистого математика.

Первая альтернатива, которую я хочу рассмотреть, — это разница между решением задач (problem solving) и теорией. Есть фраза, которая описывает обе стороны: «Зачем нужна теория, если она не решает задачи, и что хорошего в бесконечном множестве несвязанных задач, даже если по отдельности они очень интересны». Думаю, на это можно посмотреть так: вы начинаете с задач, многие из которых приходят из физики. Чтобы решить их, вы должны найти умную идею, какой-то хитрый трюк. Если трюк удачен, и вы решаете достаточно задач такого типа, вы развиваете этот трюк до уровня техники. Если задач очень много, вы развиваете технику до метода, и если задач очень-очень много, то до теории. Так выглядит эволюция от задачи до теории.

Конечно, польза от теории не состоит только в том, чтобы собрать факты, о которых вы узнали, решая задачи. Вспомните, что математика — это человеческая деятельность, и целью математики и решения задач является передача знаний следующему поколению. Вспомните, что человеческий разум конечен, и не может переварить и запомнить бесконечную последовательность задач, которые просто идут друг за другом. Целью теории является, в основном, систематически организовать прошлый опыт так, чтобы следующее поколение, наши студенты, их студенты и так далее, могли усвоить существенные аспекты наиболее безболезненным способом, и это единственный путь накапливать научные знания так, чтобы не зайти в тупик. Нам нужен способ сконденсировать наш прошлый опыт в легко усваиваемую форму, и это и есть предназначение теории. Наверное, я могу процитировать то, что Пуанкаре сказал по этому поводу: «Науку строят из фактов, как дом из камня, но куча фактов есть наука не в большей мере, чем куча камней есть дом».

Следующий контраст, о котором я хочу сказать, это разница между формализмом и строгостью (rigour). Эта дихотомия также имеет долгую историю. В математике формального типа вы можете делать что угодно, не беспокоясь о том, что ваши выкладки значат на самом деле, если они дают правильный ответ. Вы можете сказать, что такое бывает только в прикладной математике, но это не совсем правильно; по-моему, то же бывает и в чистой математике. Конечно, есть знаменитые исторические примеры формального подхода. Самым известным практиком был, без сомнения, Эйлер, который, как вы знаете, открыл много великолепных формул. Он «вычислял» бешено расходящиеся последовательности, например, \sum\limits_1^\infty n, и получил значение −1/12. Точный смысл этих формул был найден только через столетие или позже. В других областях широко известна работа Хэвисайда (Heaviside) и позже Дирака, которые работали с обобщёнными функциями, которые не имели строгого фундамента до относительно недавнего времени. Таким образом, формальный подход в математике состоит в том, что вы не думаете о строгости сейчас, оставляя это последователям, если ваша техника даёт правильные результаты.

Вы можете спросить, зачем тогда нужна строгость? Некоторые из вас могут определять строгость как «rigor mortis» и верить, что чистая математика родилась для того, чтобы душить деятельность людей, которые умеют получать практические результаты. Вспомните ещё раз, что математика — это человеческая деятельность, что наша цель — не просто открывать факты, но передавать знания дальше. Раз Эйлер знал, как писать расходящиеся последовательности и получать правильные ответы, должно быть, его сильная интуиция подсказывала ему, что можно делать, и что нельзя. Эйлер натренировал интуицию на большом количестве примеров, и передать такую интуицию очень трудно. Потом придёт следующее поколение, которое не будет понимать, как эти формулы были получены, и польза от строгого математического рассуждения в том, что выкладки, которые сначала были субъективными, зависящими от интуиции, становятся объективными, такими, что один математик может передать их другому. Я никоим образом не хочу умалить достоинства такой интуиции, я лишь хочу подчеркнуть, что знания, чтобы они были передаваемыми, должны быть представлены в однозначной форме, которую может понять и человек, не имеющий интуиции и прозорливости отца-основателя. До этого, пока вы работаете в определённой области, интуиция может вести в правильном направлении и давать правильные ответы, даже если вы пока не знаете, как их обосновать. Но когда вы поднимаетесь на следующую ступень развития, решаете более серьёзные задачи, основываясь на предыдущих результатах, твёрдое понимание фундамента становится всё более важным. Польза от строгих рассуждений состоит в том, что вы планируете постройку, и постройка, которая не стоит на крепком фундаменте, может развалиться.

Следующая тема — широта и глубина в математике. Я имею в виду, что вы можете изучать некоторую область или задачу, погружаясь всё глубже и находя всё более трудные результаты. Или вы можете распределить своё внимание по всей математике, чтобы получить разнообразные знания и посмотреть, что вы можете придумать.

Позвольте мне сравнить преимущества этих двух точек зрения, в особенности то, как они влияют на студента-исследователя: следует специализироваться в одной разделе математики или познакомиться с как можно большим полем знаний, прежде чем начать работу? Разумеется, это трудный выбор, и баланс находится где-то посредине. Опишу несколько ловушек. Если вы узко специализируетесь в одной области, допустим, вы пытаетесь решить какую-то необычайно трудную задачу, например, гипотезу Римана, вы можете потратить всю жизнь на изучение и шлифовку некоторых техник. Если вам повезёт, вы решите задачу и прославитесь в веках. Если вам не повезёт, вы не добьётесь ничего. Специализация опасна тем, что избранная задача может быть нерешаема при текущем уровне развития математики, так что вы зря тратили время, или математическая мода может поменяться так, что задача, которая считалась важной и интересной в начале вашей работы, будет считаться периферийной, когда вы её решите. Тогда вы попробуете сменить поле деятельности, но увы, слишком поздно.

Наступление на широкий фронт имеет то преимущество, что, пока вы молоды, вам легче учить новые понятия. Если вы познакомитесь с широким, насколько это возможно, полем знаний, вам будет из чего выбирать своё будущее. Вы сможете меняться вместе с математической модой. На это вам могут сказать, что единственная цель математики — решать задачи, а вся эта «широта взглядов» является просто увиливанием от трудной работы. В пользу широты я могу сказать, что суть математики состоит в том, чтобы связывать очень разные понятия. В конце концов, математика претендует на наивысшую степень абстрактности среди наук и на применение к широкому полю явлений. Надеюсь, я могу ещё раз процитировать небольшой абзац из Пуанкаре, который созвучен моим лозунгам. Он сказал: «Те математические факты стоят изучения, которые, будучи сходными с другими фактами, подводят нас к математическому закону, так же как экспериментальные факты подводят нас к физическому закону. Это те факты, которые раскрывают неожиданное родство между фактами, которые долго и неправильно считались никак не связанными». Соединение сильно отличающихся фактов, добытых из экспериментальных наук или из самой математики, является одним из главных ингредиентов математики. Нам нужны люди, которые пытаются соединить области математики, и люди, которые ограничиваются одной областью и пытаются продвинуться максимально далеко в одном направлении.

Следующая дихотомия описывает не столько содержимое математики, сколько стиль работы математика, а именно, работает он самостоятельно или сотрудничает с другими. Опять же, это зависит от человека. Некоторые просто не любят или не умеют сотрудничать. Им лучше думается в одиночестве, они пишут в одиночестве, только так они и работают. Другие предпочитают в основном работать вместе с коллегами, и я думаю, что есть много аргументов «за» этот подход и ещё больше будет в будущем. Во-первых, когда вы сотрудничаете с другими математиками, вы значительно увеличиваете количество техник и диапазон точек зрения, с которыми вы атакуете задачу. Учитывая растущее разнообразие математики, вряд ли есть такой человек, который чувствует себя как дома в любом разделе математики; как я уже говорил, множество интересных задач возникает на стыке разделов математики, поэтому объединение усилий нескольких математиков становится необходимым при решении задачи. Конечно, никто не хочет собрать математиков с полностью отличающимися взглядами. Люди должны думать в схожей манере, а для этого они должны иметь много общего и взаимную симпатию, но также должны иметь достаточно различий, чтобы каждый мог создать что-то индивидуальное. Сотрудничество даёт и другое преимущество: когда вы пытаетесь решить математическую задачу «в лоб», вы часто наталкиваетесь на стену, ничего не получается, вы чувствуете, что есть лёгкое решение где-то «за углом». В этом случае нет ничего лучше чем собеседник, потому что он обычно может «заглянуть за угол». Очень часто в математике одно-единственное препятствие может задержать вас на годы; это может быть умственный блок, какая-то глупая причина, по которой вы не увидели следующий шаг, а собеседник легко заметит его. Это преимущество сотрудничества многие используют с большой пользой. Есть и другое преимущество, критичное: мы все делаем ошибки и рвёмся вперёд, не имея доказательств. Всегда полезно иметь собеседника, который критически оценит наши аргументы и найдёт в них дыры. Разумеется, намного легче находить дыры в чужих аргументах, а не в своих!

Хоть и последний, но немаловажный аргумент состоит в том, что одиночное заключение — это весьма тягостный жизненный путь. Математическое исследование — это энергичная деятельность, и, по-моему, нужно принять во внимание пользу сотрудничества. Математические рассуждения в компании приносят гораздо больше удовольствия. Расписав все преимущества сотрудничества, я признаю, что, когда становится туго, ничто не заменит самостоятельное мышление.

Как я уже сказал, когда мы смотрим в будущее математики, допуская, что математика вообще имеет будущее, то очень трудно предсказать, чем станет математика через, скажем, 500 лет. Ускорение математических исследований, гигантское количество публикаций, растущее разнообразие ставят перед нами проблему: как мы можем совладать с будущим, как мы можем сохранить математику целостной? Совместная работа в математическом исследовании становится просто необходимой.

Следующая тема — сравнение математического мэйнстрима и той математики, которая выходит за рамки мэйнстрима. Мы ощущаем, что математика имеет некое ядро, главные задачи математики накапливаются, отсеиваются, важные задачи остаются. В математике мы имеем мэйнстрим, то есть главный поток, но также мы имеем много притоков, которые питают главный поток. Вы должны решить, хотите ли вы работать в центре математики, или вы хотите путешествовать и открывать новые территории, куда не ступала нога человека. Опять же, нам нужны оба типа математики. Настоящие пионеры осмеливаются путешествовать в одиночку, их не устраивает то, что было открыто до них. Они хотят начать с чистого листа, смотреть с абсолютно новой точки зрения, и новые творения и новые разделы математики были созданы именно такими пионерами. Конечно, судьба пионера опасна тем, что есть удачливые пионеры, но гораздо больше неудачливых. Если вы ищете золото, то один находит золотую жилу, а остальные нет. Поэтому вы должны знать, что, если вы решили съехать с наезженной колеи в чащу, то ваша работа может быть признана выдающимся вкладом в математику, если вам повезёт, но в 99% случаев реакция будет такой: «Да, весьма любопытно, однако это никуда не ведёт». Это как азартная игра, в результате которой вы можете получить золотую шахту или горы пустой породы.

Однако, если вы остаётесь в математическом мэйнстриме, вам ждёт та трудность, что эта территория была исследована самыми выдающимися математиками прошлого, поэтому открыть что-то новое в центральном ядре (central core) математики гораздо труднее. Так что если вы действительно сделали вклад, то он вероятно будет признан важным, так как находится в центральной части математики. Наконец, я хочу сравнить «мощь» (power) и «элегантность» математических рассуждений. Все мы примерно представляем, в чём их разница. Мощное рассуждение не обязано быть элегантным, оно двигается с помощью грубой силы, как бульдозер, вы просто роете землю прямо перед собой, исписываете страницы формулами, которые выглядят уродливо, они и в самом деле уродливы, но вы достигаете результата. Элегантный подход как будто вообще не требует работы, вы пишете несколько страниц, и, посмотрите-ка, вы получили результат ко всеобщему изумлению.

Опять же, нам нужны оба вида математиков. Несомненно, что многие результаты первоначально были доказаны с помощью грубой силы. Некто с железным терпением вычисляет, не думая об элегантности, пока не находит ответ. Затем другие люди, впечатлённые его результатом, смотрят, разбираются, пытаются понять и переодеть ответ так, чтобы тот выглядел привлекательно, чтобы тот выглядел элегантно. Это не просто декорирование, потому что элегантность является очень важным критерием для существования математики как живой деятельности. Если вы хотите, чтобы другие поняли рассуждение, оно должно быть в принципе простым и элегантным. Человеческий разум легче и лучше всего понимает эти качества. Действительно, Пуанкаре считал простоту движущей силой в математической теории, под действием этой силы мы выбираем то или иное направление. Поэтому элегантность также важна, и часто появляется не в первичной форме, а во вторичной.

Кажется, я поднял достаточно тем, которые могут быть подхвачены выступающими на этой конференции. Я надеюсь, что тема элегантности будет подхвачена профессором Пенроузом (Penrose), если судить по его званию. Если я не ошибаюсь, у нас также будет выступление, которое посвящено коммуникации в математике; я полагаю, что сказанное мной имеет отношение в широком смысле. Коммуникация в математике в первую очередь выражается в публикациях в научных журналах, как вы пишете,и как вы читаете математику. А в широком смысле она выражается в том, как мы передаём математику нашим современникам и будущему поколению, чтобы математика оставалась живой деятельностью. Чтобы математическая деятельность продолжалась, её теоретическая сторона должна оставаться сильной и действенной, даже если вас интересуют только техники для решения задач. Чтобы они были запечатлены в таком виде, что следующие поколения математиков усвоят их, организуйте их так, чтобы они были простыми и связными, чтобы их мог усвоить любой первокурсник. В конце концов, это наша цель; математический анализ, это великое творение Ньютона и Лейбница, мы сейчас преподаём 14-летним; теорию относительности Эйнштейна мы преподаём первокурсникам или, возможно, на последнем году школы, и так далее. Очень трудная математика наших предшественников была дистиллирована так, что мы можем преподавать её математикам в очень раннем возрасте, и это уплотнение математических знаний есть единственный способ, который даёт возможность нашим последователям усваивать знания и продолжать наше дело. На самом деле это оказалось лейтмотивом моего выступления, прошу меня извинить, что я мало сказал об умственных процессах, об этом очень интересном вопросе, откуда берутся идеи, являются ли горячие ванны или пересаживание с одного омнибуса на другой наилучшим способом стимулировать нас. Но я считаю, что знать о разнообразии математических дарований, о разных подходах к решению задач и построению теорий тоже очень важно. Не думайте, что все математики используют один метод; если они работают в одной области, это не значит, что они работают одинаково. Есть много типов математиков, и нам нужны все типы.